Cociente de diferencias de Newton
Derivative.png
La derivada de una función f\, es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de f\, en x\,. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: (x,f(x))\,. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número h\, relativamente pequeño. h\, representa un cambio relativamente pequeño en x\,, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos ( x, f(x) ) \, y ( x+h, f(x+h) ) \, es
f(x + h) - f(x) \over h .
Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}.
Si la derivada de f \, existe en todos los puntos x \,, se puede definir la derivada de f \, como la función cuyo valor en cada punto x \, es la derivada de f \, en x \,.
Puesto que sustituir h \, por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la h \, del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Sea f \, una función continua, y C \, su curva. Sea x=a \, la abscisa de un punto regular, es decir donde C \, no hace un ángulo. En el punto A(a,f(a)) \, de C \, se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f^\prime(a), el número derivado de f \, en a \,.
La función a\rightarrow f^\prime(a) es la derivada de f \,.
Pendiente.png
En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir f^\prime(a), se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de f^\prime(a) determina si la función f \, crece o decrece.
Derivada.png
En este gráfico se ve que donde f \, es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f^\prime \, es positiva, como en el punto D \, (x=d \,), mientras que donde f \, es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f^\prime es negativa, como en el punto B \, (x=b \,). En los puntos A \, y C \,, que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego f^\prime(a)=0=f^\prime(c).
La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:
f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}
Por ejemplo, sea
f\left(x\right) = x^2
entonces:
\begin{array}{rcl} f^\prime(x) &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 -x^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}\\ &=& \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x + h)\\ &=& 2x \end{array}

[editar] Lista de derivadas de funciones elementales

Artículo principal: Anexo:Tabla de derivadas
En las fórmulas siguientes se considera que x,a,b,k \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}:
f\left(x\right) = af'\left(x\right) = 0
f\left(x\right) = xf'\left(x\right) = 1
f\left(x\right) = axf'\left(x\right) = a
f\left(x\right) = ax + bf'\left(x\right) = a
f\left(x\right) = x^nf'\left(x\right) = nx^{n-1}
f\left(x\right) = \sqrt{x}f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
f\left(x\right) = e^xf'\left(x\right) = e^x
f\left(x\right) = \ln(x)f'\left(x\right) = \frac{1}{x}
f\left(x\right) = a^x (a >0)f'\left(x\right) = a^x \ln(a)
f\left(x\right) = \log_{b}(x)f'\left(x\right) = \frac{1}{x\ln(b)}
f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = x^{-n}f'\left(x\right) = -nx^{-n-1} = \frac{-n}{x^{n+1}}
f\left(x\right) = \operatorname{sen}(x)f'\left(x\right) = \cos(x)
f\left(x\right) = \cos(x)f'\left(x\right) = -\operatorname{sen}(x)
f\left(x\right) = \tan(x)f'\left(x\right)=\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}=1+\tan^2(x)
f\left(x\right) = \csc(x)f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)
f\left(x\right) = \sec(x)f'\left(x\right) = \sec(x)\tan(x)
f\left(x\right) = \cot(x)f'\left(x\right) = -\csc^2(x)
f\left(x\right) = \operatorname{arcsen}(x)f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
f\left(x\right) = \arccos(x)f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
f\left(x\right) = \arctan(x)f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}
f\left(x\right) = g(x) \pm h(x)f'\left(x\right) = g'(x) \pm h'(x)
f\left(x\right) = g(x) \cdot h(x)f'\left(x\right) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)
f\left(x\right) = k \cdot g(x)f'\left(x\right) = k \cdot g'(x)
f\left(x\right) = \frac{g(x)}{h(x)}f'\left(x\right) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h^2(x)}
f\left(x\right) = g\left(x\right)^{h\left(x\right)}f'\left(x\right) = h\left(x\right) \cdot g'\left(x\right) \cdot g\left(x\right)^{\left(h\left(x\right)-1\right)} + g\left(x\right)^{h\left(x\right)} \cdot h'\left(x\right) \cdot ln\left(g\left(x\right)\right)
f\left(x\right) = g \circ h = g(h(x))f'\left(x\right) = (g'\circ h) \cdot h' = g'(h(x)) \cdot h'(x) (regla de la cadena)
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